Wurzeln und Potenzen
Einstieg
Der geheimnisvolle Schatzbaum
Eine Schatzkiste mit einem ungewöhnlichen Geheimnis. Bewege die Kiste und beobachte, was geschieht. Welche mathematischen Zusammenhänge kannst du entdecken?
Was steckt mathematisch dahinter?
Quadratwurzeln
Definition: Wurzelziehen
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Es bedeutet, die Zahl zu finden, die potenziert (z. B. quadriert) die gegebene Zahl ergibt.
Beispiel:
| \(\sqrt[2]{9} = 3\) | \(\sqrt[5]{32} = 2\) | \(\sqrt[3]{b}\) |
Die Wurzel ohne Wurzelexponent \(\sqrt{b}\) heißt Quadratwurzel als Kurzschreibweise für \(\sqrt[2]{b}\).
Aufgabe 1: Ziehe jeweils die Quadratwurzel. Überprüfe, indem du das Ergebnis quadrierst. Formuliere deine Beobachtung.
a) \( \sqrt{121} \) b) \( \sqrt{64} \) c) \( \sqrt{100} \) d) \( \sqrt{225} \) e) \( \sqrt{49} \) f) \( \sqrt{144} \) | g) \( \sqrt{169} \) h) \( \sqrt{81} \) i) \( \sqrt{36} \) j) \( \sqrt{16} \) k) \( \sqrt{289} \) l) \( \sqrt{324} \) |
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Merkkasten abschreiben;;;Ah;10;1-4;Lb;37;1-5;Lb**;37;6-7]
Dritte Wurzeln
Definition: Dritte Wurzel ziehen
Beispiel:
| \(\sqrt[3]{1} = 1\) | \(\sqrt[3]{27} = 3\) | \(\sqrt[3]{b^3} = b\) |
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Merkkasten abschreiben;;;Ah;11;1-3;Lb;37;1-5;Lb;38;1-4;Lb**;38;6-7]
Aufgabe 2: Ziehe die dritte Wurzel. Überprüfe, indem du dein Ergebnis mit dem Exponenten 3 potenzierst.
a) \( \sqrt[3]{8} \) b) \( \sqrt[3]{27} \) c) \( \sqrt[3]{64} \) d) \( \sqrt[3]{125} \) e) \( \sqrt[3]{216} \) f) \( \sqrt[3]{343} \) | g) \( \sqrt[3]{512} \) h) \( \sqrt[3]{729} \) i) \( \sqrt[3]{1000} \) j) \( \sqrt[3]{1331} \) k) \( \sqrt[3]{2197} \) l) \( \sqrt[3]{3375} \) |
Aufgabe 3: Berechne die Quadratwurzel und die dritte Wurzel der folgenden negativen Zahlen. Gib an, ob die Wurzel existiert und, falls ja, berechne sie. Formuliere deine Beobachtung und begründe diese mathematisch.
a) \( \sqrt{-16} \) b) \( \sqrt{-9} \) c) \( \sqrt{-25} \) | d) \( \sqrt[3]{-64} \) e) \( \sqrt[3]{-27} \) f) \( \sqrt[3]{-125} \) |
Aufgabe 4:
a) Bestimme die Zahl, die man quadrieren muss, um \(484\) zu erhalten.
b) Berechne die Zahl, die man mit sich selbst dreimal multiplizieren muss, um \(1728\) zu erhalten.
c) Ermittle die Zahl, die \(1024\) ergibt, wenn man sie quadriert.
d) Finde die Zahl, die \(8000\) ergibt, wenn man sie dreimal mit sich selbst multipliziert.
e) Berechne die Zahl, die \(1600\) ergibt, wenn man sie quadriert.
f) Ermittle die Zahl, die \(3375\) ergibt, wenn man sie dreimal mit sich selbst multipliziert.
g) Bestimme die Zahl, die \(1296\) ergibt, wenn man sie quadriert.
h) Finde die Zahl, die \(4913\) ergibt, wenn man sie dreimal mit sich selbst multipliziert.
i) Bestimme die Zahl, die man hoch 4 nehmen muss, um \(16.384\) zu erhalten.
j) Berechne die Zahl, die man hoch 5 nehmen muss, um \(248.832\) zu erhalten.
k) Ermittle die Zahl, die man hoch 6 nehmen muss, um \(729.000\) zu erhalten.
Aufgabe 5: Ziehe jeweils die Quadratwurzel. Überprüfe, indem du das Ergebnis quadrierst. Formuliere deine Beobachtung.
a) \( \sqrt{1444} = \square\) b) \( \sqrt{2025} = \square \) c) \( \sqrt{6400} = \square \) d) \( \sqrt{1225} = \square\) e) \( \sqrt{5041} = \square \) f) \( \sqrt{8281} = \square\) g) \( \sqrt{9801} = \square \) h) \( \sqrt{10201} = \square \) i) \( \sqrt{15625} = \square \) j) \( \sqrt{19881} = \square\) | k) \( \sqrt{32400} = \square\) l) \( \sqrt{48400} = \square \) m) \( \sqrt{62500} = \square \) n) \( \sqrt{72900} = \square \) o) \( \sqrt{90250} = \square \) p) \( \sqrt{104329} = \square \) q) \( \sqrt{110889} = \square \) r) \( \sqrt{123201} = \square \) s) \( \sqrt{161604} = \square\) t) \( \sqrt{207025} = \square\) |
Wurzeln im Kopf ziehen
Definition: Wurzel aus großen Zahlen ziehen
Beim Wurzelziehen (Quadratwurzel) von großen Vielfachen von 10 muss die Anzahl der Nullen am Ende der Zahl ein Vielfaches des Wurzelexponenten sein.
Man schneidet die endständigen Nullen ab und zieht die Wurzel aus dem vorderen Teil. Anschließend hängt man die Anzahl der Nullen geteilt durch 2 als Nullen wieder an die Zahl an
Beispiel:
| \(\sqrt{1\color{red}|\color{black}0.000}= 100\), da \(\sqrt{1} = 1\) |
| \(\sqrt{8.1\color{red}|\color{black}00} = 90\), da \(\sqrt{81} = 9\) |
| \(\sqrt{19.6\color{red}|\color{black}00.000.000} = 140.000\), da \(\sqrt{196} = 14\) |
Aufgabe 7: Ziehe die Wurzeln im Kopf.
| a) \( \sqrt{400} = \square \) | b) \( \sqrt{14400} = \square \) |
| c) \( \sqrt{4900} = \square \) | d) \( \sqrt{900} = \square \) |
| e) \( \sqrt{6400} = \square \) | f) \( \sqrt{3600} = \square \) |
| g) \( \sqrt{25600} = \square \) | h) \( \sqrt{100} = \square \) |
| i) \( \sqrt{22500} = \square \) | j) \( \sqrt{8100} = \square \) |
| k) \( \sqrt{2500} = \square \) | l) \( \sqrt{12100} = \square \) |
| m) \( \sqrt{1600} = \square \) | n) \( \sqrt{90000} = \square \) |
| o) \( \sqrt{490000} = \square \) | p) \( \sqrt{1440000} = \square \) |
| q) \( \sqrt{640000} = \square \) | r) \( \sqrt{360000} = \square \) |
| s) \( \sqrt{2560000} = \square \) | t) \( \sqrt{810000} = \square \) |
Definition: Wurzelziehen für Dezimalbrüche
Beim Wurzelziehen von Dezimalbrüchen muss die Anzahl der Nachkommastellen ein Vielfaches des Wurzelexponenten sein. Zudem endet der Dezimalbruch auf eine Quadratzahl.
Man zieht die Wurzel schrittweise aus dem ganzzahligen Teil und den Nachkommastellen.
Beispiel:
| \(\sqrt{0,36} = 0,6\) |
| \(\sqrt{0,0049} = 0,07\) |
| \(\sqrt{0,00000121} = 0,0011\) |
Aufgabe 8: Berechne den Termwert ohne Taschenrechner.
| a) \( \sqrt{0,0064} = \square \) | b) \( \sqrt{0,000081} = \square \) |
| c) \( \sqrt{0,16} = \square \) | d) \( \sqrt{0,0025} = \square \) |
| e) \( \sqrt{0,0009} = \square \) | f) \( \sqrt{0,0049} = \square \) |
| g) \( \sqrt{0,0036} = \square \) | h) \( \sqrt{0,64} = \square \) |
| i) \( \sqrt{0,09} = \square \) | j) \( \sqrt{0,000001} = \square \) |
| k) \( \sqrt{0,81} = \square \) | l) \( \sqrt{0,0081} = \square \) |
| m) \( \sqrt{0,0016} = \square \) | n) \( \sqrt{0,25} = \square \) |
| o) \( \sqrt{0,0004} = \square \) | p) \( \sqrt{0,000025} = \square \) |
| q) \( \sqrt{0,49} = \square \) | r) \( \sqrt{0,000036} = \square \) |
| s) \( \sqrt{6,25} = \square \) | t) \( \sqrt{1,21} = \square \) |